Números Complexos - fórmulas de Moivre

Um resumo das fórmulas de Moivre utilizadas na operações de Potenciação e Radiciação de Números Complexos.

As Fórmulas de Moivre são muito úteis nas operações de  Potenciação e Radiciação de números complexos.

 

POTENCIAÇÃO

 

Primeira Fórmula de Moivre

 

EXEMPLO 01:

Solução:

 

EXEMPLO 02:

 Solução:

 

 

RADICIAÇÃO

 

 

Segunda Fórmula de Moivre

 

 

EXEMPLO 01:

Determine as raízes quadradas de 2i.

 Solução:

Primeiro devemos escrever o número complexo na forma trigonométrica.
Todo do número complexo é da forma z = a + bi. Assim, temos que:

Sabemos também que:

Com os valores de seno e cosseno podemos concluir que:

Assim, a forma trigonométrica de z = 2i é:

Agora, vamos calcular as raízes quadradas de z utilizando a fórmula de Moivre.

Como queremos as raízes quadradas de z, obteremos duas raízes distintas z₀ e z₁.

Para k = 0, teremos

Para k = 1, teremos:

Ou

 EXEMPLO 02:

Obtenha as raízes cúbicas de z = 1 . (cos π + i sen π)

 

Solução:

Como o número complexo já está na forma trigonométrica, basta utilizar a fórmula de Moivre. Pelo enunciado temos que ø = π e |z| = 1. Assim,

Teremos três raízes distintas, z₀, z₁ e z₂.
Para k = 0

Para k = 1

Ou z₁ = – 1, pois cos π = – 1 e sen π = 0.

Para k = 2