Conjuntos Numéricos
Conceitos de números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
1) Conjuntos Numéricos
- Conjuntos numéricos são conjuntos onde os elementos são números. Os conjuntos numéricos são os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais.
1.1) Conjunto dos números naturais
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Conjunto dos números naturais não nulos
IN * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Neste conjunto são definidas duas operações: adição e multiplicação, onde se aplica as seguintes propriedades:
- Associativa da adição:
(a + b) + c = a + (b + c)
- Comutativa da adição:
a + b = b + a
- Elemento neutro da adição:
a + 0 = a
- Associativa da multiplicação:
(ab)c = a(bc)
- Comutativa da multiplicação:
ab = ba
- Elemento neutro da multiplicação:
a . 1 = a
- Distributiva da multiplicação em relação à adição:
a(b + c) = ab + ac
Obs.: Em , IN a subtração não é uma operação.
1.2) Conjunto dos números inteiros
Z = {... – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números inteiros não nulos
Z* = {... – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números inteiros não negativos
Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} = conjunto dos números naturais = IN
Conjunto dos números inteiros não positivos
Z – = {... – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0}
No conjunto Z são definidas as operações de adição e multiplicação que apresentam, além das propriedades vista do conjunto IN, a propriedade:
- Simétrico ou oposto para a adição:
Para todo a pertencente a Z existe – a pertencente a Z tal que a + (– a) = 0
Logo, podemos definir em Z a operação de subtração:
a – b = a + (– b)
Obs.: Dado um número inteiro q ≠ 1 e – 1, o inverso de q não existe em Z. Logo, não podemos definir em Z a operação de divisão.
1.3) Conjunto dos números racionais
Q = {a/b| a pertence a Z, b pertence a Z e b ≠ 0}
Exemplos: 3/7, 1/5, -11/5, 8
No conjunto Q são definidas as mesmas propriedades para os números inteiros, além da propriedade:
- Simétrico ou inverso para a multiplicação:
Números decimais:
Todo número racional pode ser representado por um número decimal. E podem ocorrer dois casos:
- O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos. Decimal exata.
- O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente. Decimal não exata. Dízima periódica.
Exemplos: 7/9 = 0,7777... 82/15 = 5,46666... 16/99 = 0,161616...
Dízimas Periódicas:
Para descobrirmos qual é a fração correspondente a dízima periódica temos a seguinte regra:
- Numerador: parte aperiódica (não periódica) e o período menos a parte não periódica.
- Denominador: tantos 9 quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica após a vírgula.
1.4) Conjunto dos números irracionais
As dízimas não periódicas (aperiódicas) são números irracionais (I).
Dízima aperiódica = número irracional
Exemplos:
3,5421... é um número irracional pois é uma dízima aperiódica (os infinitos números à direita da vírgula não se repetem periodicamente).
8,1715...
Obs.: Toda raiz quadrada de qualquer número primo positivo tem como resposta uma dízima aperiódica e, portanto, será um número irracional.
Números primos positivos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...}
Obs.: se a é irracional e b é racional não nulo, então são irracionais:
a + b
a . b
a/b
b/a
1.5) Conjunto dos números reais
R = IN U Z U Q U I
R – Q = conjunto dos números irracionais
Z – IN = conjunto dos números inteiros negativos
Q – Z = conjunto dos números racionais não inteiros
